Question

17．如圖，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{19}$，AD=8，點(diǎn)P、Q分別是AD邊和BC邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，且保持CQ=2AP，設(shè)AP=x．
（1）用x的代數(shù)式表示BQ的長為8-2x；
（2）設(shè)PQ的垂直平分線EF與線段AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F
①若直線EF經(jīng)過點(diǎn)B，求x的值和線段PQ的長；
②直線EF是否能經(jīng)過點(diǎn)D？在橫線上直接寫（能或不能）不能．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)線段的和差表示出即可；
（2）在直角三角形，根據(jù)勾股定理求出x值，再構(gòu)造直角三角形用勾股定理求出PQ，
（3）同（2）的方法先表示出DQ，然后判定出CF大于BC，說明點(diǎn)F落在CB延長線上，即不能經(jīng)過點(diǎn)D．

解答 解：（1）設(shè)AP=x，CQ=2AP，
∴CQ=2x，
在矩形ABCD中，BC=AD=8，
∴BQ=8-2x，
故答案為8-2x；
（2）如圖，

由（1）知，BQ=8-2x，AP=x，
∵EF是PQ的垂直平分線，
∴PF=QF，
∵直線EF過點(diǎn)B，即：點(diǎn)F和點(diǎn)B重合，
∴QF=PF=BQ=8-2x，
在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{19}$，∠BAD=90°，
在Rt△ABP中，AB²+AP²=BP²，即：19+x²=（8-2x）²，
∴x=22（∵x＞BC，∴舍）或x=$\frac{5}{3}$，
過點(diǎn)P過PG⊥BC，
∴BG=AP，
∴QG=BQ-BG=8-2x-x=8-3x=8-3×$\frac{5}{3}$=3，
在Rt△PGQ中，PG=AB=$\sqrt{19}$，
∴PQ=$\sqrt{P{G}^{2}+Q{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
（3）不能，如圖2，

由（1）知，DP=AD-AP=8-x，CQ=2x，
∵EF是PQ的垂直平分線，
∴DP=DQ=8-x，
在△DOP和△FOQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QFO}\\{∠DOP=∠FOQ}\\{OP=OQ}\end{array}\right.$，
∴△DOP≌△FOQ，
∴PD=FQ．
∵PD∥FQ，
∴四邊形DPFQ是平行四邊形，
∵DP=DQ，
∴平行四邊形PDQF是菱形，
∴FQ=DQ，
∴CQ+FQ=CQ+DQ=2x+8-x=8+x＞BC，
∴點(diǎn)F在CB延長線上，不在邊BC上，
∴EF不能經(jīng)過點(diǎn)D．
故答案為：不能．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．