Question

15．如圖，一次函數(shù)y₁=k₁x+4與反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象交于點A（2，m）和B（-6，-2）與y軸交于點C．
（1）k₁=1，k₂=12；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象知，①當y₁＞y₂時，x的取值范圍是-6＜x＜0或x＞2；②當x為x＜-6或x＞0時，函數(shù)y₂＞-2？
（3）過點A作AD⊥x軸于點D，點P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點，設直線OP與線段AD交于點E，當S_{四邊形ODAC}：S_△ODE=5：1時，求點P的坐標．
（4）點M是y軸上的一個動點，當△MBC為直角三角形時，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出k₁、k₂的值；
（2）①觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關系，由此即可得出不等式的解集；②過點B作直線l∥x軸，找出雙曲線在直線l上方部分，即可得出結論；
（3）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點A、C的坐標，根據(jù)梯形的面積公式求出S_{四邊形ODAC}的值，進而即可得出S_△ODE的值，結合三角形的面積公式即可得出點E的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線OP的解析式，再聯(lián)立直線OP與雙曲線的解析式成方程組，通過解方程組求出點P的坐標；
（4）分∠CMB=90°或∠CBM=90°兩種情況考慮，當∠CMB=90°時，根據(jù)點B的坐標即可找出點M的坐標；當∠CBM=90°時，由直線AB的解析式可得出△BCM為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質結合點A、B的坐標即可得出點M的坐標．綜上即可得出結論．

解答 解：（1）將點B（-6，-2）代入y₁=k₁x+4，
-2=-6k₁+4，解得：k₁=1；
將點B（-6，-2）代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$，
-2=$\frac{{k}_{2}}{-6}$，解得：k₂=12．
故答案為：1；12．

（2）①觀察函數(shù)圖象可知：當-6＜x＜0或x＞2時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
∴當y₁＞y₂時，x的取值范圍是-6＜x＜0或x＞2．
故答案為：-6＜x＜0或x＞2．
②過點B作直線l∥x軸，如圖1所示．
觀察圖形可知：當x＜-6或x＞0時，反比例函數(shù)圖象在直線l上方，
∴當x＜-6或x＞0時，函數(shù)y₂＞-2．
故答案為：x＜-6或x＞0．

（3）依照題意，畫出圖形，如圖2所示．
當x=2時，m=x+4=6，
∴點A的坐標為（2，6）；
當x=0時，y₁=x+4=4，
∴點C的坐標為（0，4）．
∵S_{四邊形ODAC}=$\frac{1}{2}$（OC+AD）•OD=$\frac{1}{2}$×（4+6）×2=10，S_{四邊形ODAC}：S_△ODE=5：1，
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$OD•DE=$\frac{1}{2}$×2DE=2，
∴DE=2，即點E的坐標為（2，2）．
設直線OP的解析式為y=kx，
將點E（2，2）代入y=kx，
2=2k，解得：k=1，
∴直線OP的解析式為y=x．
聯(lián)立直線OP與反比例函數(shù)解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
又∵點P在第一象限，
∴點P的坐標為（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

（4）依照題意畫出圖形，如圖3所示．
當∠CMB=90°時，BM∥x軸，
∴點M的坐標為（0，-2）；
當∠CBM=90°時，∵直線AC的解析式為y=x+4，
∴∠BCM=45°，
∴△BCM為等腰直角三角形，
∴CM=-2x_B=12，
∴點M的坐標為（0，-8）．
綜上所述：當△MBC為直角三角形時，點M的坐標為（0，-2）或（0，-8）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求出一次（反比例）函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、梯形（三角形）的面積以及等腰直角三角形，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點B的坐標，利用待定系數(shù)法求出k₁、k₂的值；（2）利用兩函數(shù)圖象的上下位置關系解不等式；（3）根據(jù)兩圖形面積間的關系找出點E的坐標；（4）分∠CMB=90°或∠CBM=90°兩種情況尋找點M的坐標．