Question

6．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．求證：CE=CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠ECG=45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG．
（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上一點，且∠ECG=45°，BE=2．求△ECG的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，再利用“邊角邊”證明△BCE≌△DCF，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=CF；
（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BCE=∠DCF，再求出∠GCF=45°，從而得到∠GCF=∠GCE，再利用“邊角邊”證明△GCE≌△GCF，由（1）得△BCE≌△DCF，即可得出結(jié)論；
（3）過C作CD⊥AG，交AG延長線于D．證明四邊形ABCD是正方形，由（2）得：GE=GF，得出GE=DF+GD=BE+GD，設DG=x，則AG=6-x，GE=2+x，在Rt△AEG中，由勾股定理得出方程，解方程求出DG，S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠CDF=90°，BC=CD，
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDF=90°}\\{DF=BE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF；
（2）證明：延長AD至F，使DF=BE．連接CF，如圖1所示：
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠BCE=∠DCF，
∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=90°-45°=45°，
∴∠GCF=∠GCE，
在△ECG和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCF=∠GCE}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△GCF（SAS），
∴S_△ECG=S_△GCF=S_△BCE+S_△CDG，
∴S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG；
（3）解：過C作CD⊥AG，交AG延長線于D；如圖2所示：
在直角梯形ABCG中，∵AG∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CDA=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
又∵AB=BC，
∴四邊形ABCD是正方形，
由（2）得：△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD，
設DG=x，
∵BE=2，AB=6，
∴AE=4，AG=6-x，GE=2+x，
在Rt△AEG中，
GE²=AE²+AG²，
即（2+x）²=4²+（6-x）²，
解得：x=3，
∴S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG=$\frac{1}{2}$×2×6+$\frac{1}{2}$×3×6=15，
∴△CEG的面積為15．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理、三角形面積的計算等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線證明三角形全等和運用勾股定理才能得出結(jié)果．