Question

15．如圖，點(diǎn)A、B分別位于x軸負(fù)、正半軸上，OA、OB﹙OA＜OB﹚的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的兩根，C（0，3），且S_△ABC=6．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）求∠ABC的度數(shù)；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AC交x軸于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（4）y軸上是否存在點(diǎn)P，使∠PBA=∠ACB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)確定出OC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形ABC面積求出AB的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)OA、OB﹙OA＜OB﹚的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的兩根，表示出OA+OB，即為AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出m的值，確定出方程，求出解得到A與B坐標(biāo)，得到三角形OBC為等腰直角三角形，即可求出∠ABC的度數(shù)；
（3）如圖1所示，作CD⊥AC，交x軸于點(diǎn)D，根據(jù)同角的余角相等及一對(duì)公共角，得到三角形AOC與三角形COD相似，由相似得比例求出OD的長(zhǎng)，即可確定出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（4）y軸上存在點(diǎn)P，使∠PBA=∠ACB，理由為：y軸上存在點(diǎn)P，使∠PBA=∠CAB，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作PB∥AC，設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A和點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，進(jìn)而求出直線PB解析式，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性求出點(diǎn)P′坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C（0，3），
∴OC=3，
∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}$×AB×OC=6，
∴AB=4；
（2）∵OA、OB﹙OA＜OB﹚的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的兩根，
∵OA+OB=4m，
∴4m=4，即m=1，
∴方程可化為：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°；
（3）如圖1所示，作CD⊥AC，交x軸于點(diǎn)D，

∵∠AOC=∠ACD=90°，
∴∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠DCO=90°，
∴∠CAO=∠DCO，
∴△AOC∽△COD，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{OC}{OD}$，
∴OD=$\frac{O{C}^{2}}{AO}$=9，
∴D（9，0）；
（4）y軸上存在點(diǎn)P，使∠PBA=∠CAB，如圖2所示，

過(guò)點(diǎn)B作PB∥AC，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
把A（-1，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=3x+3，
設(shè)直線PB解析式為y=3x+b，
把B（3，0）代入得：0=9+b，即b=-9，
∴直線PB的解析式為：y=3x-9，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-9），根據(jù)對(duì)稱性得P′（0，9），
則y軸上存在點(diǎn)P，使∠PBA=∠ACB，此時(shí)P坐標(biāo)為（0，-9）或（0，9）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解一元二次方程-因式分解法，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．