Question

5．觀察下列各式：1²-0²=1+0=1；2²-1²=2+1=3；3²-2²=3+2=5；4²-3²=4+3=7；…若用字母n表示自然數(shù)．
（1）請你把觀察出的規(guī)律用含n的式子表示出來；
（2）你的猜想正確嗎？試用有關(guān)的知識加以說明；
（3）求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）的值．

Answer 1

分析 （1）觀察給定的等式，根據(jù)等式的變化找出規(guī)律“（n+1）²-n²=2n+1”；
（2）利用完全平方公式的展開式結(jié)合整式的加減運(yùn)算法則，來證明尋找到的規(guī)律成立；
（3）將算式×（2-1），算式的結(jié)果不變，結(jié)合平方差公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1²-0²=1，2²-1²=3，3²-2²=5，4²-3²=7，…，
則（n+1）²-n²=2n+1．
（2）證明：左邊=（n+1）²-n²=n²+2n+1-n²=2n+1=右邊，
故（1）的結(jié)論正確．
（3）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=2³²-1
=1023．

點(diǎn)評 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類、完全平方公式以及平方差公式，解題的關(guān)鍵：（1）找出規(guī)律“（n+1）²-n²=2n+1”；（2）熟練的利用完全平方公式來證明結(jié)論；（3）將算式×（2-1）．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)等式的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．