Question

20．如圖，已知拋物線y=ax²+bx=3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（-1，0）和點(diǎn)C（3，0）．
（1）求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)D，連接AB、BD，求△ABD的面積；
（3）點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線MN，與直線AC交于點(diǎn)N．問在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以D、N、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B（-1，0）和點(diǎn)C（3，0）分別代入y=ax²+bx+3求出a和b的值，可求出拋物線解析式，進(jìn)而可求出其對(duì)稱軸方程；
（2）利用已知條件易求△ABC和△BCD的面積，由S_△ABD=S_△ABC-S_△DBC計(jì)算即可；
（3）在拋物線上存在點(diǎn)M，使得以D、N、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似，首先證得Rt△AOC為等腰直角三角形，所以∠OAC=∠OCA=45°，則以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形也必須是等腰直角三角形．由MN∥OA得∠MND=∠OAC=45°，故以D、M、N為頂點(diǎn)的直角三角形只能以點(diǎn)D或M為直角頂點(diǎn)，再分兩種情況：①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，DM⊥MN，此時(shí)△DMN∽△COA；②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，DM⊥AC，此時(shí)△DMN∽△OCA，分別討論求出符合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過B（-1，0）和C（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+3，
∴對(duì)稱軸為直線x=1，
（2）令x=0得：y=3，
∴A（0，3），
設(shè)AC的解析式為y=kx+b將A（0，3）、C（3，0）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2，
∴D（1，2），
∴S_△ABD=S_△ABC-S_△DBC=$\frac{1}{2}$×4×3-$\frac{1}{2}$×4×4=2；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．
在Rt△AOC中，
∵OA=OC=3，
∴Rt△AOC為等腰直角三角形，
∴∠OAC=∠OCA=45°，則以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形也必須是等腰直角三角形．
由MN∥OA得∠MND=∠OAC=45°，故以D、M、N為頂點(diǎn)的直角三角形只能以點(diǎn)D或M為直角頂點(diǎn)．
①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，DM⊥MN，此時(shí)△DMN∽△COA，
∴DM所在的直線為y=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得x=1±$\sqrt{2}$，
∴M（1-$\sqrt{2}$，2）或M（1+$\sqrt{2}$，2）；
②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，DM⊥AC，此時(shí)△DMN∽△OCA，
∵D在對(duì)稱軸上，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC，
故M在直線BD上，
設(shè)BD的解析式為y=kx+b，將B、D的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴BD的解析式為y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得：x=-1或2，
將x=-1代入y=x+1，得y=0，
∴M（-1，0），
將x=2代入y=x+1，得y=3，
∴M（2，3），
綜上所述，在拋物線．存在點(diǎn)M，使得以D、N、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1-$\sqrt{2}$，2），（1+$\sqrt{2}$，2），（-1，0），（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象交點(diǎn)的問、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求很高，是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題．