Question

12．如圖，在正方形ABCD中，延長對角線CA到點E，以AE為邊作正方形AEFG，連接BG、DE．
（1）求證：△ABG≌△ADE；
（2）當(dāng)AB=$\sqrt{2}$，AG=3時，求線段BG的長度．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=90°，根據(jù)四邊形AEFG是正方形，得到AE=AG，∠EAG=90°，于是得到∠BAD=∠EAG，證得∠BAG=∠DAE，于是得到結(jié)論；
（2）如圖，連接BD交AC于點H，根據(jù)四邊形ABCD是正方形，于是得到AH=DH，∠AHD=90°，由于$AD=AB=\sqrt{2}$，求出AH=DH=1，在Rt△EHD中，由勾股定理得：$ED=\sqrt{E{H^2}+D{H^2}}=\sqrt{17}$，又由（1）△ABG≌△ADE得到BG=ED，于是結(jié)論可得．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵四邊形AEFG是正方形，
∴AE=AG，∠EAG=90°，
∴∠BAD=∠EAG，
∴∠BAD+∠DAG=∠EAG+∠DAG，
∴∠BAG=∠DAE，
在△ABG與△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠BAG=∠DAE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE（SAS）；

（2）解：如圖，連接BD交AC于點H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AH=DH，∠AHD=90°，
又∵$AD=AB=\sqrt{2}$，
∴AH=DH=1，
又∵四邊形AEFG是正方形，
∴AE=AG=3，
∴EH=AE+AH=4，
在Rt△EHD中，由勾股定理，得：$ED=\sqrt{E{H^2}+D{H^2}}=\sqrt{17}$，
又由（1）△ABG≌△ADE，
∴BG=ED，
∴$BG=\sqrt{17}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，證得△ABG≌△ADE是解題的關(guān)鍵．