Question

19．如圖，Rt△ABO的頂點(diǎn)A是雙曲線y=$\frac{k}{x}$與直線y=-x-（k+1）在第二象限的交點(diǎn)．AB⊥x軸于B，且S_△ABO=$\frac{3}{2}$．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和△AOC的面積；
（3）直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式$x+（k+1）+\frac{k}{x}≤0$的解集．

Answer 1

分析 （1）欲求這兩個(gè)函數(shù)的解析式，關(guān)鍵求k值．根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，k絕對(duì)值為3且為負(fù)數(shù)，由此即可求出k；
（2）由函數(shù)的解析式組成方程組，解之求得A、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△AOC=S_△ODA+S_△ODC即可求出；
（3）根據(jù)圖象即可求得．

解答 解：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），且x＜0，y＞0，
則S_△ABO=$\frac{1}{2}$•|BO|•|BA|=$\frac{1}{2}$•（-x）•y=$\frac{3}{2}$，
∴xy=-3，
又∵y=$\frac{k}{x}$
即xy=k，
∴k=-3．
∴所求的兩個(gè)函數(shù)的解析式分別為y=-$\frac{3}{x}$，y=-x+2；

（2）由y=-x+2，
令x=0，得y=2．
∴直線y=-x+2與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），
∵A、C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴交點(diǎn)A為（-1，3），C為（3，-1），
∴S_△AOC=S_△ODA+S_△ODC=$\frac{1}{2}$OD•（|x₁|+|x₂|）=$\frac{1}{2}$×2×（3+1）=4；

（3）關(guān)于x的不等式$x+（k+1）+\frac{k}{x}≤0$的解集是：x≤-1或0＜x≤3．

點(diǎn)評(píng) 此題首先利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后利用解方程組來(lái)確定圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，及利用坐標(biāo)求出線段和圖形的面積．也考查了函數(shù)和不等式的關(guān)系．