Question

5．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，AE的垂直平分線(xiàn)交邊BC于點(diǎn)G，交邊AE于點(diǎn)F，連接DF，EG，以下結(jié)論：①DF=$\sqrt{5}$，②DF∥EG，③△EFG≌△ECG，④BG=$\frac{1}{2}$，正確的有：①④（填寫(xiě)序號(hào)）

Answer 1

分析 如圖，設(shè)FG交AD于M，連接BE．①正確，利用勾股定理求出AE即可．②錯(cuò)誤，只要證明DF∥BE即可證明．④正確．通過(guò)計(jì)算即可證明．且發(fā)現(xiàn)EF≠EC，F(xiàn)G≠CG，即可說(shuō)明③錯(cuò)誤．

解答 解：如圖，設(shè)FG交AD于M，連接BE．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=EC=2，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵AF=EF，
∴DF=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{5}$，故①正確，
易證△AED≌△BEC，
∴∠AED=∠BEC，
∵DF=EF，
∴∠FDE=∠FED=∠BEC，
∴DF∥BE，
∵BE與EG相交，
∴DF與EG不平行，故②錯(cuò)誤，
∵AE⊥MG，易證AE=MG=2$\sqrt{5}$，
由△AFM∽△ADE，可知$\frac{FM}{DE}$=$\frac{AF}{AD}$，
∴FM=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$，F(xiàn)G=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
在Rt△EFG中，EG=$\sqrt{E{F}^{2}+F{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
在Rt△ECG中，CG=$\sqrt{E{G}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴BG=BC-CG=4-$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$，故④正確，
∵EF≠EC，F(xiàn)G≠CG，∴△EGF與△EGC不全等，故③錯(cuò)誤，
故答案為①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．