Question

11．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊BC上的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AM，AC，則sin∠MAC=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 作ME⊥AC于點(diǎn)E，得出△MEC是等腰直角三角形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，利用勾股定理求得AM，利用特殊角的三角函數(shù)求得ME，進(jìn)一步得出sin∠MAC即可．

解答 解：如圖，

作ME⊥AC于點(diǎn)E，
∵四邊形ABCD是正方形，設(shè)邊長(zhǎng)為a，
∴AB=BC=a，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)M是邊BC上的中點(diǎn)，
∴BM=MC=$\frac{1}{2}$a，
∴在直角△ABM中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
在△MEC中，ME=CM•sin∠ACB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴sin∠MAC=$\frac{ME}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，特殊角的三角函數(shù)，三角函數(shù)的意義，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．