Question

14．如圖1，在四邊形ABCD的AB邊上任取一點E（點E不與點A、點B重合，分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成3個三角形．如果其中有2個三角形相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點；如果這3個三角形都相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強相似點．
（1）若圖1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點．
（2）①如圖2，畫出矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點．（要求：畫圖工具不限，不寫畫法，保留畫圖痕跡或有必要的說明）
②對于任意的一個矩形，是否一定存在強相似點？如果一定存在，請說明理由；如果不一定存在，請舉出反例．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，點E是四邊形ABCD的AB邊上的一個強相似點，判斷AE與BE的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△EBC，所以問題得解；
（2）①以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求．②不一定存在強相似點，如正方形；
（3）因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解．

解答 解：（1）理由：∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠DEA=130°，
∵∠DEC=50°，
∴∠BEC+∠DEA=130°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點；
（2）①以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求，
如圖2所示：連接FC，DF，
∵CD為直徑，∴∠DFC=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠B=90°，
∴△DFC∽△CBF，
同理可得出：△DFC∽△FAD，
②對于任意的一個矩形，不一定存在強相似點，如正方形．
（3）第一種情況：∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC，
∵點E是梯形ABCD的邊AB上的強相似點，
∴△ADE，△BEC以及△CDE是兩兩相似的，
∵△ADE是直角三角形，
∴△DEC也是直角三角形，
當∠DEC=90°時，
①∠CDE=∠DEA，
∴DC∥AE，
這與四邊形ABCD是梯形相矛盾，不成立；
②∠CDE=∠EDA，
∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠ECD，
∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AED=∠BCE，
∴∠AED=∠BCE=∠ECD，
∴DE平分∠ADC，同理可得，CE平分∠DCB，
如圖3，過E作EF⊥DC，
∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴AE=FE，BE=FE，
∴AE=BE，
第二種情況：∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
即△ADE∽△BEC∽△DCE．
所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，
說明AE=$\frac{1}{2}$DE，BE=$\frac{1}{2}$CE，DE=$\frac{1}{2}$CE，
所以AE=$\frac{1}{2}$BE．
綜上，AE=BE或AE=$\frac{1}{2}$BE．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)以及理解相似點和強相似點的概念，掌握強相似點的概念、正確運用相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的正確運用．