Question

6．已知△ABC

（1）①如圖1，若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，探究∠P與∠A之間數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②如圖2，若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，∠P與∠A之間數(shù)量關(guān)系是∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
③如圖3，若P點(diǎn)是∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，∠P與∠A之間數(shù)量關(guān)系是∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（2）運(yùn)用所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：
如圖4，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，連接AO，若∠BOC=130°，則∠BAC=80°，∠BAO=40°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理、角平分線的定義探求并證明．
（2）求出∠OBC+∠OCB，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，即可求出答案．

解答 解：（1）①如圖1：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB．
∵∠P=180°-∠PBC-∠BCP，
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠ACB
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
②如圖2：∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
③如圖3：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
故答案為：∠P=$\frac{1}{2}$∠A，∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（2）∵BE、CF分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，
∴OA是∠BAC的角平分線，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BOC=130°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-130°=50°，
∵BE、CF分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，
∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=80°，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，
故答案為：80，40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，此題是一道比較典型的題目，難度適中，注意：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．