Question

6．如圖，點A（2，2$\sqrt{3}$），N（1，0），∠AON=60°，點M為平面直角坐標系內一點，且MO=MA，則MN的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 MO=MA知點P在AO中垂線上，當MN⊥PQ時MN最小，利用△PMN∽△PQO得$\frac{PN}{PO}$=$\frac{MN}{QO}$，據(jù)此求解可得．

解答 解：如圖，過點A作AB⊥x軸，

則OB=2、AB=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∵cos∠AOB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOB=60°，
作AO的中垂線交x軸于點P，交OA于點Q，
則OQ=AQ=2，
∴OP=$\frac{OQ}{cos∠AOB}$=4，
∵N（1，0），
∴PN=3，
∵MO=MA，
∴點M在PQ上，
當MN⊥PQ時，MN最小，
∵PQ⊥OA、PQ⊥MN，
∴△PMN∽△PQO，
∴$\frac{PN}{PO}$=$\frac{MN}{QO}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{MN}{2}$，
解得：MN=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查線段垂直平分線的性質、相似三角形的判定與性質及解直角三角形的應用，熟練掌握中垂線的性質得出點M的位置時解題的關鍵．