Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）和原點(diǎn)，點(diǎn)B在拋物線上且tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，拋物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)P．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，若四邊形AOBC為等腰梯形且AO∥BC，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D在AB上，若△ADP相似于△ABP，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）設(shè)B（m，$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m），由題意tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{2}m}{2+m}$=$\frac{1}{2}$，解得m=±2，由點(diǎn)B在第一象限，推出m=2，B（2，2）當(dāng)y=2時(shí)，$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x=2，解得x=-4或2，推出C（-4，2）；
（3）由題意直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，設(shè)D（n，$\frac{1}{2}$n+1），因?yàn)椤螪AP=∠PAB，所以只有△APD∽△ABP時(shí)，AD²=AD•AB，由AP=1，AB=2$\sqrt{5}$，推出AD=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，可得（n+2）²+（$\frac{1}{2}$n+1）²=（$\frac{\sqrt{5}}{10}$）²，解方程即可解決問題；

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{1-2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x，
∵對稱軸x=-$\frac{\frac{1}{2}}{2×\frac{1}{4}}$=-1，
∴P（-1，0）．

（2）設(shè)B（m，$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m），
由題意tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{2}m}{2+m}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=±2，
∵點(diǎn)B在第一象限，
∴m=2，B（2，2）
當(dāng)y=2時(shí)，$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x=2，解得x=-4或2，
∴C（-4，2）

（3）由題意直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，設(shè)D（n，$\frac{1}{2}$n+1），
因?yàn)椤螪AP=∠PAB，所以只有△APD∽△ABP時(shí)，AD²=AD•AB，
∵AP=1，AB=2$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴（n+2）²+（$\frac{1}{2}$n+1）²=（$\frac{\sqrt{5}}{10}$）²，
解得n=-$\frac{9}{5}$或-$\frac{11}{5}$，
∵n＞-2，
∴n=-$\frac{9}{5}$，
∴D（-$\frac{9}{5}$，$\frac{1}{10}$）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會根據(jù)為方程解決問題，屬于中考壓軸題．