Question

已知正數(shù)k是4和9的比例中項，
（1）求k的值；
（2）求證：關(guān)于x的方程x²-kx-k=0必定有兩個不等實數(shù)根；
（3）求證：方程的兩根必定是一正一負．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,比例線段

專題：

分析：（1）根據(jù)比例中項的概念，得k²=4×9，則k可求出來．
（2）先計算判別式得到b²-4ac=60＞0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論．
（3）利用根與系數(shù)的關(guān)系：x₁•x₂=

c

a

，即可判定．

解答：（1）解：∵正數(shù)k是4和9的比例中項，
∴k²=4×9=36，
∴k=6；

（2）證明：∵k=6，
∴關(guān)于x的方程為x²-6x-6=0，
∵b²-4ac=（-6）²-4×1×（-6）=60＞0，
∴關(guān)于x的方程x²-kx-k=0必定有兩個不等實數(shù)根；

（3）證明：∵x₁•x₂=-k＜0，
∴方程的兩根必定是一正一負．

點評：本題考查了比例中項的概念，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．