Question

13．如圖，直線y=ax+b與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點，與x軸、y軸分別交于C、D兩點．
（1）m=4，n=1；若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是反比例函數(shù)圖象上兩點，且0＜x₁＜x₂，則y₁＞y₂（填“＜”或“=”或“＞”）；
（2）若線段CD上的點P到x軸、y軸的距離相等，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出m的值，再由點B也在反比例函數(shù)圖象上即可得出n的值，由反比例函數(shù)系數(shù)m的值結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出反比例函數(shù)的增減性，由此即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)過C、D點的直線解析式為y=kx+b，由點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式，設(shè)出點P的坐標為（t，-t+5），由點P到x軸、y軸的距離相等即可得出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出t的值，從而得出點P的坐標．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象過點A（1，4），
∴m=1×4=4．
∵點B（4，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴m=4n=4，解得：n=1．
∵在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）中，m=4＞0，
∴反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象單調(diào)遞減，
∵0＜x₁＜x₂，
∴y₁＞y₂．
故答案為：4；1；＞．
（2）設(shè)過C、D點的直線解析式為y=kx+b，
∵直線CD過點A（1，4）、B（4，1）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=-x+5．
設(shè)點P的坐標為（t，-t+5），
∴|t|=|-t+5|，
解得：t=$\frac{5}{2}$．
∴點P的坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及解含絕對值符號的一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）求出m的值；（2）找出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，結(jié)合點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．