Question

16．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE對折至△AEF，延長EF交CD于點(diǎn)G．
（1）求證：FG=BG；
（2）若AB=5，BE=1，求△CEG的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠B=∠D=90°，AD=AB，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AD=AF，∠AFG=∠D=90°，求出∠AFG=90°=∠B，AB=AF，根據(jù)HL推出全等即可；
（2）設(shè)EF=DE=x，則CE=5-x，在Rt△CEG中，CG=BC-BG=4，GE=x+1，由勾股定理得出方程，解方程求出DE，得出CE，即可求出三角形的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AD=AB=CD=BC，
由折疊的性質(zhì)可知：AD=AF，∠AFG=∠D=90°，
∴∠AFG=90°=∠B，AB=AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴FG=BG；

（2）解：由折疊的性質(zhì)得：EF=DE，
由（1）得：FG=BG=1，
設(shè)EF=DE=x，則CE=5-x，
在Rt△CEG中，CG=BC-BG=4，GE=x+1，
由勾股定理得：CG²+CE²=GE²，
即4²+（5-x）²=（x+1）²，
解得：x=$\frac{10}{3}$，
∴CE=$\frac{5}{3}$，
∴△CEG的面積=$\frac{1}{2}$CG•CE=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{5}{3}$=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)；熟練掌握折疊的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．