Question

如圖，直線y=x+b與二次函數(shù)y=x²+x-4交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，是否存在這樣的b，使得△AOB是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：首先求出兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出AO，BO，AB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出即可．

解答：解：∵直線y=x+b與二次函數(shù)y=x²+x-4，
∴x+b=x²+x-4，
解得：x₁=

b+4

，x₂=-

b+4

，
可以求得A、B的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：
B﹙

b+4

，

b+4

+b﹚，A﹙-

b+4

，-

b+4

+b﹚，
∵∠AOB=90°，
∴由勾股定理得：
OA²+OB²=AB²，
∴（-

b+4

）²+（-

b+4

+b）²+(

b+4

)2+（

b+4

+b）²=（2

b+4

）²+（

b+4

+b+

b+4

-b）²，
∴b²-2b-8=0
解得：b₁=4或b₂=-2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，得出關(guān)于b的方程是解題關(guān)鍵．