Question

已知A（2，1）、B（1，2），求等邊△ABC的第三個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：設(shè)出C坐標(biāo)，由三角形ABC為等邊三角形得到AC=AB，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出AC與AB，得出x與y的方程，由A與B的坐標(biāo)求出中點(diǎn)D坐標(biāo)，利用三線合一得到CD與AB垂直，即直線CD與直線AB斜率乘積為-1，由直線AB的斜率求出直線CD的斜率，根據(jù)C與D坐標(biāo)表示出直線CD斜率，兩者相等得到x與y的關(guān)系式，代入得出的方程計(jì)算求出x的值，進(jìn)而確定出C坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)C（x，y），
∵△ABC為等邊三角形，A（2，1）、B（1，2），
∴AC²=AB²，即AC²=（x-2）²+（y-1）²，
∵AB²=2，
∴（x-2）²+（y-1）²=2，
取AB中點(diǎn)D（

3

2

，

3

2

），可得k_CD•k_AB=-1，
∵K_CD=

y- 3 2

x- 3 2

，K_AB=

1-2

2-1

=-1，
∴K_CD=1，即x-

3

2

=y-

3

2

，
∴x=y，
把x=y代入（x-2）²+（y-1）²=2得：（x-2）²+（x-1）²=2，
解得：x=

3± 3

2

，
則C坐標(biāo)為（

3+ 3

2

，

3+ 3

2

）或（

3- 3

2

，

3- 3

2

）．

點(diǎn)評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．