Question

如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點，過點E作EF⊥EC 交邊AB于點F，交CB的延長線于點G，且EF=EC．
（1）求證：CD=AE；
（2）若DE=4cm，矩形ABCD的周長為 32cm，求CG的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）若要證明CD=AE，則可證明兩條線段所在的三角形全等即可；
（2）由AD∥BC可證△AEF∽△BGF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出BG的長，進而求出CG的長．

解答：（1）證明：在Rt△AEF和Rt△DEC中，
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°．
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．        
又∠FAE=∠EDC=90°，EF=EC，
在Rt△AEF和Rt△DCE中，

∠FAE=∠EDC=90° ∠AEF=∠ECD EF=EC

，
∴Rt△AEF≌Rt△DCE（AAS）．
∴AE=CD． 

（2）∵AD=AE+4，
∵矩形ABCD的周長為32 cm，
∴2（AE+AE+4）=32．．
解得 AE=6．  
∴AF=4，BF=2．
由AD∥BC可證△AEF∽△BGF．
∴

AE

BG

=

AF

BF

=2．
∴BG=3．
∴CG=13．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度中等．