Question

5．如圖①，∠MON=60°，點A，B為射線OM，ON上的動點（點A，B不與點O重合），且AB=$4\sqrt{3}$，在∠MON的內(nèi)部、△AOB的外部有一點P，且AP=BP，∠APB=120°．
（1）求AP的長；
（2）求證：點P在∠MON的平分線上；
（3）如圖②，點C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點，連接CD，DE，EF，F(xiàn)C，OP．當AB⊥OP時，請直接寫出四邊形CDEF周長的值．

Answer 1

分析 （1）過點P作PQ⊥AB于點Q．根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質推知AQ=BQ=$\frac{1}{2}$AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數(shù)的定義可以求得AP的長度；
（2）作輔助線PS、PT（過點P分別作PS⊥OM于點S，PT⊥ON于點T）構建全等三角形△APS≌△BPT；然后根據(jù)全等三角形的性質推知PS=PT；最后由角平分線的性質推知點P在∠MON的平分線上；
（3）利用三角形中位線定理知四邊形CDEF的周長的值是OP+AB，當AB⊥OP時，根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義可以求得OP的長度．

解答 （1）解：過點P作PQ⊥AB于點Q．
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4$\sqrt{3}$
∴AQ=BQ=2$\sqrt{3}$，∠APQ=60°（等腰三角形的“三線合一”的性質），
在Rt△APQ中，sin∠APQ=$\frac{AQ}{AP}$
∴AP=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4；

（2）證明：過點P分別作PS⊥OM于點S，PT⊥ON于點T．
∴∠OSP=∠OTP=90°（垂直的定義）； 
在四邊形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°，
∴∠APS=∠BPT，
在△APS和△BPT中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ASP=∠BTP=90°}\\{∠APS=∠BPT}\\{AP=BP}\end{array}\right.$
∴△APS≌△BPT（AAS），
∴PS=PT（全等三角形的對應邊相等）
∴點P在∠MON的平分線上；

（3）∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，OP⊥AB，
∴AQ=BQ=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴OQ=$\frac{AQ}{tan30°}$=6，
同理：PQ=$\frac{AQ}{tan60°}$=2，
∴OP=8，
∵點C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點，
∴CD=EF=$\frac{1}{2}$AB，CF=DE=$\frac{1}{2}$OP，
∴四邊形CDEF的周長為：8+4$\sqrt{3}$．

點評 本題綜合考查了等腰三角形的性質、三角形中位線定理、解直角三角形以及全等三角形的判定與性質．解答該題時，利用了角平分線逆定理--到角兩邊的距離相等的點在角平分線上．