Question

10．相信大家一定記得：在探究乘法公式、勾股定理時(shí)都采用了拼圖法，然后借助所拼圖形面積相等，更形象、直觀地說(shuō)明它們成立．希望中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)也利用這種數(shù)形結(jié)合思想，借助如圖1所示所示的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b（a＞b）的正方形，說(shuō)明平方差公式a²-b²=（a+b）（a-b）成立，請(qǐng)你和他們一起探究吧！
（1）填空：

操作說(shuō)明：把圖2中的陰影部分沿虛線兩次剪下來(lái)，拼成如圖3中所示的矩形．
∴這個(gè)矩形的長(zhǎng)為a+b，寬為a-b．
∴S_{陰影（矩形）}=（a+b）（a-b）．
又∵圖2中S_陰影=a²-b²
∴a²-b²=（a+b）（a-b）
（2）請(qǐng)你提供一種不同于（1）的剪拼方法，再次說(shuō)明a²-b²=（a+b）（a-b）成立．（要求：①最多剪3次，在圖4中畫出剪切線，用虛線表示：②畫出拼圖；③寫出操作說(shuō)明．）

Answer 1

分析 （1）圖3中的矩形的長(zhǎng)為a+b，寬為a-b，所以S_{陰影（矩形）}=（a+b）（a-b）；
（2）把圖4中的陰影沿虛線三次剪下來(lái)，拼成如圖5所示的梯形，并計(jì)算面積即可．

解答 解：（1）故答案為：a+b，a-b，（a+b）（a-b）；
（2）把圖4中的陰影沿虛線三次剪下來(lái)，拼成如圖5所示的梯形，
∴這個(gè)梯形的上底長(zhǎng)為2b，下底長(zhǎng)為2a，高為（a-b），
∴S_{陰影（梯形）}=$\frac{1}{2}$（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），
∵圖4中的S_陰影=a²-b²，
∴a²-b²=（a+b）（a-b）．

點(diǎn)評(píng) 本題是平方差公式的幾何背景，考查了平方差公式的幾何推導(dǎo)過(guò)程，本題利用了兩種拼剪方式來(lái)證明平方差公式的正確性，此類題的解題思路為：原面積=拼剪后的面積．