Question

2．在Rt△POQ中，OP=OQ，M是PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心，旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B．
（1）求證：MA=MB；
（2）在旋轉三角尺的過程中，四邊形AOBM的面積是否變化？試說明你的理由．
（3）連接AB，探究：在旋轉三角尺的過程中，△AOB的周長有變化（直接填“有”或“沒有”）．

Answer 1

分析 （1）過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，可得四邊形OEBF是矩形，根據(jù)三角形的中位線定理可得ME=MF，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角邊角”證明△AME和△BMF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）利用四邊形AOBM的面積為：S_△POQ-S_△MPA-S_△MQB進而得出即可；
（3）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=BF，設OA=x，表示出AE為2-x，即BF的長度，然后表示出OB=2+（2-x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍表示出AB的長度，然后根據(jù)三角形的周長公式列式判斷出△AOB的周長隨AB的變化而變化，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出周長最小時的x的值，然后解答即可．

解答 （1）證明：如圖，過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，
∵∠O=90°，
∴四邊形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中點，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=$\frac{1}{2}$OQ=2，MF=$\frac{1}{2}$OP=2，
∴ME=MF，
∴四邊形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠BMF}\\{ME=MF}\\{∠AEM=∠BFM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；

（2）解：四邊形AOBM的面積不發(fā)生變化；
理由：由（1）得出：AE=FB，OF=FQ=OE，
∴BQ=FQ-BF=EO-AE=AO，
∴PA+BQ=PO=5，
∵四邊形AOBM的面積為：S_△POQ-S_△MPA-S_△MQB=$\frac{1}{2}$×PO×QO-$\frac{1}{2}$（PA+BQ）×ME=$\frac{1}{2}$×5×5-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$；

（3）解：由（1）證得△AME≌△BMF（ASA），
∴AE=BF，
設OA=x，則AE=2-x，
∴OB=OF+BF=2+（2-x）=4-x，
在Rt△AME中，AM=$\sqrt{A{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{（2-x）^{2}+{2}^{2}}$，
∵∠AMB=90°，MA=MB，
∴AB=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（2-x）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$，
∴△AOB的周長=OA+OB+AB=x+（4-x）+$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$=4+$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$，
∵x是一個變量，
∴，△AOB的周長有變化，
故答案為：有．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角的性質，三角形的中位線定理，勾股定理的應用，以及二次函數(shù)的最值問題，作出輔助線，把動點問題轉化為固定的三角形，構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．