Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖①，點(diǎn)P是拋物線上位于x軸下方的一點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)P、Q分別向x軸作垂線，垂足為點(diǎn)D、E，記矩形DPQE的周長為d，求d的最大值，并求出使d最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，點(diǎn)M是拋物線上位于直線AC下方的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MF⊥AC于點(diǎn)F，連接MC，作MN∥BC交直線AC于點(diǎn)N，若MN將△MFC的面積分成2：3兩部分，請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)點(diǎn)P為（t，t²-2t-3），-1＜t＜3，因?yàn)閷?duì)稱軸x=1，所以PQ=2|t-1|，然后分三種情況討論即可求得；
（3）過點(diǎn)F作FH⊥MN于H，過C作CG⊥MN于G，則∠ANM=∠ACB=45°，進(jìn)而求得FH=$\frac{1}{2}$MN，從而得出$\frac{{S}_{△FMN}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{FH}{CG}$=$\frac{MN}{2CG}$，根據(jù)A、C的坐標(biāo)求得直線AC的解析式為y=x+1，設(shè)M（m，m²-2m-3），其中-1＜m＜4，則CG=4-m，由MN∥BC得N（m，m+1），求得MN的長為：（m+1）-（m²-2m-3）=-m²+3m+4，然后分兩種情況：當(dāng)$\frac{{S}_{△FMN}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{2}{3}$時(shí)，則3MN=4CG；當(dāng)$\frac{{S}_{△FMN}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{3}{2}$時(shí)，則2MN=6CG；列出關(guān)于m的方程，解方程即可求得M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由已知得：A（-1，0）、C（4，5），
∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）C（4，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}1-b+c=0\\ 16+4b+c=5\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$．
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）．
（2）由（1）知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
設(shè)點(diǎn)P為（t，t²-2t-3），-1＜t＜3
∵P、Q為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，
∴PQ=2|t-1|，
當(dāng)t＞1時(shí)，d=2[2（t-1）+（-t²+2t+3）]=-2t²+8t+2=-2（t-2）²+10，
∵-2＜0，
∴當(dāng)t=2時(shí)，d有最大值為10，即P（2，-3）；
當(dāng)t＜1時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性得，點(diǎn)P為（0，-3）時(shí)，d有最大值10，；
綜上，當(dāng)P為（0，-3）或（2，-3）時(shí)，d有最大值10．
（3）過點(diǎn)F作FH⊥MN于H，過C作CG⊥MN于G，則∠ANM=∠ACB=45°，
∵M(jìn)F⊥AC，
∴FH=$\frac{1}{2}$MN，
∴$\frac{{S}_{△FMN}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{FH}{CG}$=$\frac{MN}{2CG}$，
∵A（-1，0，C（4，5），
∴直線AC的解析式為y=x+1，
設(shè)M（m，m²-2m-3），其中-1＜m＜4，則CG=4-m，
由MN∥BC得，N（m，m+1），
∴MN的長為：（m+1）-（m²-2m-3）=-m²+3m+4，
當(dāng)$\frac{{S}_{△FMN}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{2}{3}$時(shí)，則3MN=4CG，即3（-m²+3m+4）=4（4-m），
解得m₁=$\frac{1}{3}$，m₂=4（舍去），
∴M（$\frac{1}{3}$，-$\frac{32}{9}$），
當(dāng)$\frac{{S}_{△FMN}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{3}{2}$時(shí)，則2MN=6CG，即2（-m²+3m+4）=6（4-m），
解得m₃=2，m₄=4（舍去），
∴M（2，-3）．
綜上，當(dāng)M的坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，-$\frac{32}{9}$）或（2，-3）時(shí)，MN將△MFC的面積分成2：3兩部分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及二次函數(shù)的最值，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法以及拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．