Question

12．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足為D，點E為弧BF上一點，且BE=CF，
（1）求證：AE是⊙O的直徑；     
（2）若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）由BE=CF，則可證得∠BAE=∠FAC，根據(jù)圓周角定理和等角的余角相等證明即可；
（2）連接OC，根據(jù)圓周角定理證明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得．

解答 （1）證明：∵BE=CF，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CF}$，
∴∠BAE=∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴ADC=90°，
∴∠FAD+∠ACD=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠E+∠BAE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是⊙O的直徑；

（2）如圖，連接OC，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC=∠CAE，
∴∠AOC=2∠CAE，
∵OA=OA，
∴∠CAO=∠ACO=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AE=8，∴AO=CO=4，
∴AC=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理和其推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．