Question

13．提出問題
如圖1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是線段AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、D重合），連結(jié)PC，過點(diǎn)P作PE⊥PC交AB于點(diǎn)E，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，圖中各角和線段之間是否存在的某種關(guān)系和規(guī)律？
特例求解
當(dāng)E為AB的中點(diǎn)，且AP＞AE時(shí)，求證：PE=PC．
深入探究
當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AB上運(yùn)動(dòng)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中BE的取值范圍．

Answer 1

分析 特例求解：設(shè)AP=x，證明△APE∽△DCP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解一元二次方程求出x的值，證明△APE≌△DCP即可；
深入探究：設(shè)AP=x，AE=y，證明△APE∽△DCP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可．

解答 解：特例求解，
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠APE=∠DCP，又∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴$\frac{AP}{DC}$=$\frac{AE}{DP}$，
設(shè)AP=x，則DP=3-x，又AE=BE=1，
∴x（3-x）=1×2，
整理得x²-3x+2=0，
解得，x₁=2，x₂=1，
∵AP＞AE，
∴AP=2，AE=PD=1，
∴△APE≌△DCP，
∴PE=PC；
深入探究
設(shè)AP=x，AE=y，
∵△APE∽△DCP，
∴$\frac{AP}{DC}$=$\frac{AE}{DP}$，即x（3-x）=2y，
∴y=$\frac{1}{2}$x（3-x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，y的最大值為$\frac{9}{8}$，
∵AE=y取最大值時(shí)，BE取最小值為2-$\frac{9}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴BE的取值范圍為$\frac{7}{8}$≤BE＜2．

點(diǎn)評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的解析式的確定以及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理以及判定定理是解題的關(guān)鍵．