Question

9．已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△DBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，那么線段AD的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)AB=AC，DB=DC可證出點(diǎn)A、D都在BC的垂直平分線上，即AD是線段CB的垂直平分線，所以DE=$\frac{1}{2}$BC，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，再由條件AB=CB=1，可知計(jì)算出AD的長(zhǎng)．

解答 解：根據(jù)題意畫出可圖形，如右圖：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上），
∵△DBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，
∴DB=DC，
∴點(diǎn)D也在BC的垂直平分線上，
∴AD是線段CB的垂直平分線，
∴AD⊥CB，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$CB=$\frac{1}{2}$，AE=AB•sin60°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=AE±DE=$\frac{\sqrt{3}±1}{2}$
故答案為：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等腰直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是證明AD是線段CB的垂直平分線．