Question

3．拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線BC的解析式；
（3）如圖，P為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D，求△BDC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先令-x²+2x+3=0，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式；
（3）設(shè)P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），即可求得PD的長(zhǎng)，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，即可得S_△BDC=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)△BDC的面積最大值．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）令-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
即B（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，
則$\left\{\begin{array}{l}{b′=3}\\{3k+b′=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b′=3}\end{array}\right.$，
故直線BC的解析式為y=-x+3；

（3）如圖，連接BD，
設(shè)P（a，3-a），則D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
=$\frac{1}{2}$PD•a+$\frac{1}{2}$PD•（3-a）
=$\frac{1}{2}$PD×3
=$\frac{3}{2}$（-a²+3a）
=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，△BDC的面積最大為$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值問(wèn)題以及三角形面積表示方法等知識(shí)，根據(jù)題意表示出S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB是解題關(guān)鍵．