Question

8．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△AD′C′，過點B作BE⊥AC′于點E，延長BE交射線AD′于點F，連接DF，取AB中點H，連接HE，在旋轉(zhuǎn)過程中，當HE⊥BD時，（BE+DF）²的值為8+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先由BE⊥AC′及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠C′EF=∠C′D′F=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及正方形的性質(zhì)得出∠D′FE=∠C′=45°，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出EH=$\frac{1}{2}$AB=2，由△BMH是等腰直角三角形求出HM=BM=$\sqrt{2}$，則ME=EH-HM=2-$\sqrt{2}$，利用勾股定理得到BE²=BM²+ME²=（$\sqrt{2}$）²+（2-$\sqrt{2}$）²，AE²=AB²-BE²=4²-[（$\sqrt{2}$）²+（2-$\sqrt{2}$）²]=8+4$\sqrt{2}$．再作∠FAG=90°，交FB的延長線于點G．利用SAS證明△ABG≌△ADF，那么BG=DF，且△AEG是等腰直角三角形，于是求出（BE+DF）²=（BE+BG）²=GE²=AE²=8+4$\sqrt{2}$．

解答 解：∵BE⊥AC′，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△AD′C′，
∴∠C′EF=∠C′D′F=90°，
又∵∠3=∠4，
∴∠D′FE=∠C′=45°．
∵∠AEB=90°，AB中點是H，
∴EH=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵HE⊥BD，∠HBD=45°，
∴HM=BM=$\sqrt{2}$，
∴ME=EH-HM=2-$\sqrt{2}$，
BE²=BM²+ME²=（$\sqrt{2}$）²+（2-$\sqrt{2}$）²，
AE²=AB²-BE²=4²-[（$\sqrt{2}$）²+（2-$\sqrt{2}$）²]=8+4$\sqrt{2}$．
作∠FAG=90°，交FB的延長線于點G．
∵∠AF′G=45°，
∴∠G=45°，
∴AG=AF．
在△ABG與△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠1=∠2=90°-∠BAF}\\{AG=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴BG=DF，AG=AF，
∵∠FAG=90°，
∴∠G=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴（BE+DF）²=（BE+BG）²=GE²=AE²=8+4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，有一定難度．準確作出輔助線是解題的關鍵．