Question

14．如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AF交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
（1）求證：AF⊥DE；
（2）若PC=4，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS證明△DAE與△ABF全等，再利用角互余證明垂直即可；
（2）根據(jù)AAS證明△CGF與△ABF全等，再利用正方形的面積解答即可．

解答 證明：（1）∵正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴AD=AB，AE=BF，∠DAE=∠ABF=90°，
在△DAE與△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAE=∠ABF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAP=90°，
∴∠ADE+∠DAP=90°，
∴AF⊥DE；
（2））∵正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴CF=BF，∠ABF=∠GCF=90°，
在△GCF與△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠GCF}\\{∠AFB=∠GCF}\\{BF=CF}\end{array}\right.$，
∴△GCF≌△ABF（AAS），
∴AB=CG，
∵正方形ABCD中，AB=CG=DC，
∴PC為RT△DPG的中線，
∴PC=CG=DC=4，
∴${S}_{正方形ABCD}=C{D}^{2}=16$

點(diǎn)評(píng) 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△DAE與△ABF全等．