Question

2．如圖，一次函數(shù)y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$的圖象與坐標軸分別交于點A和B兩點，將△AOB沿直線CD折起，使點A與點B重合，直線CD交AB于點D．
（1）求點C的坐標；
（2）在射線DC上求一點P，使得PC=AC，求出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B兩點的坐標各是多少；然后將△AOB沿直線CD折起，點A與點B重合，可得CD垂直平分AB，據(jù)此求出點D的坐標以及CD所在的直線的斜率，進而求出CD所在的直線的解析式以及點C的坐標即可．
（2）首先求出AC=4，再根據(jù)點P是射線DC上的一點，設(shè)點P的坐標是（x，$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$）（x＜3），然后根據(jù)PC=AC=4，列出方程，求出x的值是多少，進而求出點P的坐標即可．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$的圖象與坐標軸分別交于點A和B兩點，
∴A（6，0）、B（0，2$\sqrt{3}$），
∵將△AOB沿直線CD折起，點A與點B重合，
∴CD垂直平分AB，
∴點D的坐標是（3，$\sqrt{3}$），
∴CD所在的直線的斜率是：$\frac{-1}{-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，
∴CD所在的直線的解析式是：y=$\sqrt{3}$（x-3）$+\sqrt{3}$=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$，
∴點C的坐標是（2，0）．

（2）∵A（6，0）、C（2，0），
∴AC=6-2=4，
∵點P是射線DC上的一點，
∴設(shè)點P的坐標是（x，$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$）（x＜3），
∵PC=AC=4，
∴（x-2）²+${（\sqrt{3}x-2\sqrt{3}）}^{2}$=4²=16，
整理，可得x²-4x=0，
解得x=0或x=4，
∵x＜3，
∴x=4不符合題意，
∴點P的坐標是（0，-2$\sqrt{3}$）．

點評 （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了直線解析式的求法，以及一元二次方程的解法，要熟練掌握．