Question

10．如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A（-1，0），B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，且對稱軸為x=1，點D為頂點，連結(jié)BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E．
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）若對稱軸右側(cè)拋物線上一點M，過點M作MN⊥CD，交直線CD于點N，使∠CMN=∠BDE，求點M的坐標；
（3）連接BC交DE于點P，點Q是線段BD上的一個動點，自點D以$\sqrt{5}$個單位每秒的速度向終點B運動，連接PQ，將△DPQ沿PQ翻折，點D的對應點為D′，設(shè)Q點的運動時間為t（0≤t≤$\frac{4}{5}$）秒，求使得△D′PQ與△PQB重疊部分的面積為△DPQ面積的$\frac{1}{2}$時對應的t值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B關(guān)于對稱軸為x=1對稱，且A（-1，0），得到B（3，0），所以-1，3是方程ax²+bx-3=0的根，得到-1+3=-$\frac{a}$，求出a=1，b=-2，所以拋物線y=x²-2x-3，當x=1時，y=-4，即可確定D（1，-4）．
（2）若點N在射線CD上，如備用圖1-1，延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．易證△MCN∽△DBE，得到MN=2CN．設(shè)CN=a，則MN=2a．求出MG=FG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，CG=FG-FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，代入拋物線y=（x-3）（x+1），求出a的值，即可知M的坐標；若點N在射線DC上，如備用圖1-2，MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．用類似的方法求出a的值，確定M的坐標；
（3）分兩種情況作答，畫出圖形，利用解三角形，即可解答．

解答 解：（1）∵A、B關(guān)于對稱軸為x=1對稱，且A（-1，0），
∴B（3，0），
∴-1，3是方程ax²+bx-3=0的根，
∴-1+3=-$\frac{a}$，
解得：a=1，b=-2，
∴拋物線y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點D的坐標為（1，-4），
（2）①若點N在射線CD上，如備用圖1-1，延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2CN．
設(shè)CN=a，則MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=$\sqrt{2}$a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
∴CG=FG-FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，-3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）．   
代入拋物線y=（x-3）（x+1），解得a=$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，
∴M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）；
②若點N在射線DC上，如備用圖1-2，MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2CN．
設(shè)CN=a，則MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=$\sqrt{2}$a，
∴MF=MN-NF=a，
∴MG=FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴CG=FG+FC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
∴M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a）．
代入拋物線y=（x-3）（x+1），解得a=5$\sqrt{2}$，
∴M（5，12）；
綜上可知，點M坐標為（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（5，12）；
（3）如備用圖2-1，
易知PG₁是△DBE的中位線，PQ₁平分∠DPD_′，
∴∠DPQ₁=45°，
Rt△DBE中三邊比為1：2：$\sqrt{5}$，
易得tan∠EDB=$\frac{1}{2}$，
解△PDQ₁得：DQ1=$\frac{\sqrt{5}}{3}$PD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
此時t=$\frac{2}{3}$，
如備用圖2-2，
作PH⊥BD，PG₁和PG₂關(guān)于PH對稱，PQ₂平分∠DPQ₂，
易得∠Q2PH=45°，
解三角形得DQ2=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
此時t=$\frac{2}{5}$．
∴t=$\frac{2}{3}$或t=$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應用、勾股定理逆定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點，也是難點．在（3）中注意分類討論思想的應用．