Question

11．利用平面直角坐標(biāo)系求拋物線y=x²-4x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)圍成的△ABC的周長和面積．拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ABD與△ABC面積相等，如果有，請寫出D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)后，然后即可求出AB、AC、BC的長度；由于△ABD與△ABC面積相等，即它們的高也相等．

解答 解：令y=0代入y=x²-4x+3，
∴0=x²-4x+3，
∴x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，OB=3，OA=1，
令x=0代入y=x²-4x+3，
∴y=3，
∴C（0，3），
∴由勾股定理可求得：AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周長為：AC+AB+BC=2+$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$，
△ABC的面積為：$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
設(shè)△ABD的邊AB上的高為h，
∴h=3，
∴即D的縱坐標(biāo)為±3，
設(shè)D（x，y），
當(dāng)y=3時，
此時3=x²-4x+3，
解得x=0（舍去）或x=4，
∴當(dāng)y=-3時，
∴此時-3=x²-4x+3，
∴△＜0，
∴方程無解，
綜上所述，D的坐標(biāo)為（4，3）

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合問題，涉及勾股定理，三角形面積公式，一元二次方程等知識，題型較為綜合．