Question

3．如圖，已知⊙O的半徑為6cm，射線PM經(jīng)過點(diǎn)O，OP=10cm，射線PN與⊙O相切于點(diǎn)Q．A、B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，點(diǎn)A以5cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以4cm/s的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s．
（1）求PQ的長；
（2）當(dāng)直線AB與⊙O相切時(shí)，求證：AB⊥PN；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與⊙O相切？

Answer 1

分析 （1）連接OQ，在Rt△OPQ中，利用勾股定理即可解決問題．
（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OC⊥AB于C．只要證明△PBA∽△PQO，即可推出∠PBA=∠PQO=90°．
（3）首先證明四邊形OCBQ是矩形，分兩種情形列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接OQ，

∵PN與⊙O相切于點(diǎn)Q，
∴OQ⊥PN，
∴∠OQP=90°，
∵OQ=6cm，OP=10cm，
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．

（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OC⊥AB于C．

由題意，PA=5t，PB=4t，
∵OP=10，PQ=8，
∴$\frac{PA}{PO}$=$\frac{PB}{PQ}$，∵∠P=∠P，
∴△PBA∽△PQO，
∴∠PBA=∠PQO=90°，
∴AB⊥PN．

（3）∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四邊形OCBQ是矩形，
∴BQ=OC=6，
∵OC=6cm，
∴BQ=6cm．
①當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到圖2位置時(shí)，BQ=PQ-PB=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5s，

②當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到圖3位置時(shí)，

BQ=AB-PQ=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5s，
綜上所述，t=0.5s或3.5s時(shí)，直線AB與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題、勾股定理．相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．