Question

20．已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)．
（1）如圖，若E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE=AF．求證：△DEF為等腰直角三角形；
（2）若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE=AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 1）題要通過構(gòu)建全等三角形來求解．連接AD，可通過證△ADF和△BDE全等來求本題的結(jié)論．
（2）與（1）題的思路和解法一樣．

解答 解：（1）證明：連接AD
∵AB=AC，∠A=90°，D為BC中點(diǎn)
∴AD=$\frac{BC}{2}$=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45°
在△BDE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠B=∠DAF=45°}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF為等腰直角三角形．

（2）解：仍為等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED
∴DF=DE，∠ADF=∠BDE
∵∠ADF+∠FDB=90°
∴∠BDE+∠FDB=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF為等腰直角三角形．

點(diǎn)評 本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，難度較大．