Question

9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC，則點B到AD的距離是（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{6\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 過點D作DE⊥AB交AB于E，設(shè)CD=x，則BD=4-x，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得CD，求得S_△ABD，由勾股定理得到AD，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：過點D作DE⊥AB交AB于E，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
設(shè)CD=x，則BD=8-x，
∵AD平分∠BAC，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{x}{4-x}$=$\frac{3}{5}$，
解得，x=$\frac{3}{2}$
∴CD=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB•DE=$\frac{1}{2}×$$\frac{3}{2}$×5=$\frac{15}{4}$，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
設(shè)BD到AD的距離是h，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AD•h，
∴h=$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，三角形的角平分線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．