Question

15．△ABC中，∠ACB的平分線與∠ABC的平分線交于點P，過P作直線DE∥BC，交直線AC于E，交直線AB于D．
（1）如圖1，CE、BD、DE三條線段長有怎樣的關系，證明你的結論；
（2）若將∠ACB的平分線改為∠ACB的外角平分線，其它條件不變，如圖2，畫出圖形，寫出CE、BD、OE三條線段長之間的關系，并證明你的結論；
（3）若CP，BP均為∠ACB、∠ABC的外角平分線，其它條件不變，如圖3，畫出圖形，并直接寫出CE、BD、DE三條線段長之間的關系為DE=BD+CE．

Answer 1

分析 （1）利用CP是∠ACB的平分線，得出∠ACP=∠BCP，又由于DE∥BC，得出∠CPE=∠FCP，即∠ACP=∠CPE，進而得出EP=EC，同理得出DP=DB，即可得出結論；
（2）同（1）的方法即可得出結論；
（3）同（1）（2）的方法即可得出結論．

解答 解（1）結論：DE=CE+BD；理由如下：
如圖1，∵CP是∠ACB的平分線，
∴∠ACP=∠BCP，
∵DE∥BC，
∴∠CPE=∠BCP，
∴∠ACP=∠CPE，
∴EP=EC，
∵BP是∠ABC的平分線，
∴∠ABP=∠CBP，
∵DE∥BC，
∴∠DPB=∠CBP，
∴∠ABP=∠DPB，
∴DP=DB，
∴DE=EP+DP=EC+DB，
即：DE=CE+BD；
（2）補全圖形如圖2，
結論：DE=BD-CE，理由如下：
∵CP是∠ACB的外角∠ACF的平分線，
∴∠ACP=∠FCP，
∵DE∥BC，
∴∠CPE=∠FCP，
∴∠ACP=∠CPE，
∴EP=EC，
∵BP是∠ABC的平分線，
∴∠ABP=∠CBP，
∵DE∥BC，
∴∠DPB=∠CBP，
∴∠ABP=∠DPB，
∴DP=DB，
∴DE=DP-PE=DB-CE
即：DE=BD-CE；
（3）補全圖形如圖3，
結論：DE=BD+CE，理由如下：
∵CP是∠ACB的外角∠BCE的平分線，
∴∠BCP=∠ECP，
∵DE∥BC，
∴∠CPE=∠BCP，
∴∠ECP=∠CPE，
∴EP=EC，
∵BP是∠ABC的外角∠CBD的平分線，
∴∠DBP=∠CBP，
∵DE∥BC，
∴∠DPB=∠CBP，
∴∠DBP=∠DPB，
∴DP=DB，
∴DE=DP+PE=DB+CE．
故答案為：DE=BD+CE．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了角的平分線，平行線的性質，等腰三角形的判定；判斷出DP=BD和EP=CE是解本題關鍵．