Question

16．如圖，AC⊥BC于點(diǎn)C，⊙O與直線AB、BC、CA都相切，若BC=3，△ABC的周長是10，則⊙O的半徑等于2．

Answer 1

分析 首先設(shè)BA、BC、AC與⊙O的切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OE、OF，易得四邊形CEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為x，又由切線長定理可得△ABC的周長=2BE=2（BC+CE），即可得2（3+x）=10，繼而求得答案．

解答 解：設(shè)BA、BC、AC與⊙O的切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OE、OF，如圖，
∵AC、BE為切線，
∴OE⊥BE、OF⊥AC，且AC⊥BC，
∴四邊形CEOF為正方形，
設(shè)⊙O的半徑為x，
則CE=CF=x，
又由切線長定理，可知BD=BE，AD=AF，
∴△ABC的周長為：BA+BC+AC=BA+AF+BC+CF=BA+AD+BC+CE=BD+BE=2BE=2（BC+CE）=2（3+x）=10，
解得：x=2．
即⊙O的半徑等于2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理以及正方形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．