Question

6．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE、BF、CF、DE分別為∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分線．
（1）試猜想EF與AB的位置關系，并證明你的結(jié)論．
（2）試判斷EF與AB、AD之間的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）延長DE交AB于G，延長BF交CD于H，由DE是∠CDA的平分線，BF是∠ABC的平分線，得到∠ABF=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠CDG=$\frac{1}{2}∠$ADC，根據(jù)四邊形ABCD 是平行四邊形，得到∠ADC=∠ABC，推出DG∥BH，根據(jù)已知條件得到AE⊥DG，得到E是DG的中點，同理F是BH的中點，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)EF∥BG，BF∥EG，得到四邊形BFEG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF=BG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD=AG，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）EF∥AB，
理由：延長DE交AB于G，延長BF交CD于H，
∵DE是∠CDA的平分線，BF是∠ABC的平分線，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠CDG=$\frac{1}{2}∠$ADC，
∵四邊形ABCD 是平行四邊形，
∴∠ADC=∠ABC，
∴∠ABF=∠CDE，
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠AGD，
∴∠AGD=∠ABH，
∴DG∥BH，
∵AE、DE分別為∠DAB、∠CDA的平分線，∠CDA+∠DAB=180°，
∴AE⊥DG，
∴E是DG的中點，
同理F是BH的中點，
∴EF∥AB；

（2）EF=AB-AD，
理由：∵EF∥BG，BF∥EG，
∴四邊形BFEG是平行四邊形，
∴EF=BG，
∵∠CDE=∠ADE=∠AGE，
∴AD=AG，
∴BG=AB-AD，
∴EF=AB-AD．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵．