Question

19．在△ABC中，CD是AB邊上的中線，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的平行線交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE
（1）求證：EC=DA；
（2）填空：
①當(dāng)AC⊥CB時(shí)，四邊形AECD的形狀是菱形；
②當(dāng)AC=CB時(shí)，四邊形AECD的形狀是矩形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，得出FD=CF，再利用AAS證明△FEC與△FBD全等，進(jìn)一步證明即可；
（2）利用直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出CD=DA，進(jìn)一步得出結(jié)論即可；
（3）由等腰三角形的性質(zhì)得出CD⊥AB，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵EC∥AB，
∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，
∵F是CD的中點(diǎn)，
∴FD=CF，
在△FEC與△FBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠DBF}&{\;}\\{∠ECF=∠BDF}&{\;}\\{FD=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FEC≌△FBD（AAS），
∴EC=BD，
又∵CD是AB邊上的中線，
∴BD=DA，
∴EC=DA．
（2）解：AC⊥CB時(shí)，四邊形AECD是菱形；理由如下：
∵EC=AD，EC∥AD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AC⊥CB，CD是AB邊上的中線，
∴CD=AD=BD，
∴四邊形AECD是菱形；故答案為：⊥．
（3）解：當(dāng)AC=CB時(shí)，四邊形AECD的是矩形；理由如下：
∵AB=AC，CD是AB邊上的中線，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
又∵四邊形AECD是平行四邊形，
∴四邊形AECD的是矩形；
故答案為：=．

點(diǎn)評(píng) 此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定以及菱形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．