Question

10．（1）先化簡(jiǎn)，再求值：（$\frac{a}{a+2}$+$\frac{1}{{a}^{2}-4}$）÷$\frac{a-1}{a+2}$+$\frac{1}{a-2}$，其中a=2+$\sqrt{2}$；
（2）化簡(jiǎn)：$\frac{a}{{a}^{2}-4}$•$\frac{a+2}{{a}^{2}-3a}$-$\frac{1}{2-a}$，并求值，其中a與2，3構(gòu)成△ABC的三邊，且a為整數(shù)；
（3）先化簡(jiǎn)，再求值：（$\frac{x}{x-2}$-$\frac{4}{{x}^{2}-2x}$）÷$\frac{x+2}{{x}^{2}-x}$，其中x滿足x²-x-2=0．

Answer 1

分析 （1）先把括號(hào)內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算得到原式=[$\frac{a（a-2）}{（a+2）（a-2）}$+$\frac{1}{（a+2）（a-2）}$]•$\frac{a+2}{a-1}$+$\frac{1}{a-2}$，再計(jì)算括號(hào)內(nèi)的加法運(yùn)算后約分，接著進(jìn)行同分母的加法運(yùn)算，然后把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可；
（2）先把分母因式分解后約分，再進(jìn)行通分和同分母的加法運(yùn)算得到原式=$\frac{1}{a-3}$，接著根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到1＜a＜5，然后根據(jù)分式有意義的條件得到a的值為4，最后把a(bǔ)=4代入計(jì)算即可；
（3）先把括號(hào)內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算得到原式=[$\frac{{x}^{2}}{x（x-2）}$-$\frac{4}{x（x-2）}$]•$\frac{x（x-1）}{x+2}$，再計(jì)算括號(hào)內(nèi)的簡(jiǎn)法運(yùn)算后約分得到原式=x-1，然后解方程x²-x-2=0和根據(jù)分式有意義的條件得到x=-1，再把x=-1代入計(jì)算即可．

解答 解：（1）原式=[$\frac{a（a-2）}{（a+2）（a-2）}$+$\frac{1}{（a+2）（a-2）}$]•$\frac{a+2}{a-1}$+$\frac{1}{a-2}$
=$\frac{（a-1）^{2}}{（a+2）（a-2）}$•$\frac{a+2}{a-1}$+$\frac{1}{a-2}$
=$\frac{a-1}{a-2}$+$\frac{1}{a-2}$
=$\frac{a}{a-2}$，
當(dāng)a=2+$\sqrt{2}$時(shí)，原式=$\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}-2}$=$\sqrt{2}$+1；
（2）原式=$\frac{a}{（a+2）（a-2）}$•$\frac{a+2}{a（a-3）}$+$\frac{1}{a-2}$
=$\frac{1}{（a-2）（a-3）}$+$\frac{a-3}{（a-2）（a-3）}$
=$\frac{a-2}{（a-2）（a-3）}$
=$\frac{1}{a-3}$，
∵a與2，3構(gòu)成△ABC的三邊，
∴1＜a＜5，
而a為整數(shù)，
∴a=2，3，4，
∵a-2≠0且a-3≠0，
∴a的值為4，
當(dāng)a=4時(shí)，原式=$\frac{1}{4-3}$=1；
（3）原式=[$\frac{{x}^{2}}{x（x-2）}$-$\frac{4}{x（x-2）}$]•$\frac{x（x-1）}{x+2}$
=$\frac{（x+2）（x-2）}{x（x-2）}$•$\frac{x（x-1）}{x+2}$
=x-1，
解方程x²-x-2=0得x₁=2，x₂=-1，
而x-2≠0，
∴x=-1，此時(shí)原式=-1-1=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．注意分式有意義的條件．