Question

7．△ABC是邊長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形，點(diǎn)F是邊BC上的點(diǎn)，F(xiàn)D⊥AB，F(xiàn)E⊥AC，
（1）求證：△BDF∽△CEF；
（2）已知A、D、F、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，若tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求此圓的半徑．
（3）設(shè)BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時(shí)S取最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和垂直的定義結(jié)合兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似證明△BDF∽△CEF；
（2）根據(jù)A、D、F、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，證明∠FAE=∠EDF，根據(jù)tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，設(shè)EF=$\sqrt{3}$x，根據(jù)∠ECF=60°和正切的概念列出算式求出x的值，得到答案．
（3）用m表示出AD、DF、AE、EF的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形ADFE面積為S=△ADF的面積+△FEC的面積求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)配方法求出當(dāng)m為何值時(shí)S取最大值．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠DBF=∠ECF=60°，
∵FD⊥AB，F(xiàn)E⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°，
∴：△BDF∽△CEF；
（2）解：∵A、D、F、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，
∴∠FAE=∠EDF，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)EF=$\sqrt{3}$x，則AE=2x，由勾股定理得AF=$\sqrt{7}$x，
CE=4-2x，又∠ECF=60°，
tan∠ECF=$\frac{EF}{CE}$，即$\frac{\sqrt{3}x}{4-2x}$=$\sqrt{3}$，
解得x=$\frac{4}{3}$，
AF=$\sqrt{7}$x=$\frac{4}{3}\sqrt{7}$，
∵∠AEF=90°，
∴AF是圓的直徑，
∴圓的半徑為：$\frac{2}{3}\sqrt{7}$；
（3）解：在Rt△BDF中，∠B=60°，BF=m，
∴BD=$\frac{1}{2}$m，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴△ADF的面積為：$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{1}{2}$m）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\sqrt{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²，
在Rt△FEC中，∠C=60°，F(xiàn)C=4-m，
∴EC=$\frac{1}{2}$（4-m），EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m），
∴△FEC的面積為：$\frac{1}{2}$×[4-$\frac{1}{2}$（4-m）]×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m）=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²，
四邊形ADFE面積為S=△ADF的面積+△FEC的面積
=$\sqrt{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²+2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²，
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m-2）²+3$\sqrt{3}$，
當(dāng)m=2時(shí)，S取最大值3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定、四點(diǎn)共圓、銳角三角函數(shù)和二次函數(shù)的知識(shí)，掌握相似三角形的判定定理、銳角三角函數(shù)的概念和二次函數(shù)的最值的求法是解題的關(guān)鍵．