Question

12．某書店要經(jīng)營一種新上市的中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，進價為每本20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)每天銷售量y（本）與單價x元/本之間滿足下表：

銷售價格x（元/本）	…	25	30	35	40	…
銷售量y（本）	…	250	200	150	100	…

（1）觀察并分析表中的y與x之間的對應(yīng)關(guān)系，用學(xué)過的函數(shù)的有關(guān)知識寫出y（本）與x（元/本）的函數(shù)解析式；
（2）寫出書店銷售這種中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/本）之間的函數(shù)關(guān)系式（每天銷售利潤=每本資料的利潤×每天的銷售量），并求銷售單位為多少時，該書店每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）書店的銷售部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：
方案A：該中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料的單價高于進價且不超過26元；
方案B：每天銷售量不少于50件，且每本資料的利潤至少為18元．
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用銷量×每件利潤=總利潤，進而求出即可；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出銷售單價；
（3）分別求出兩種方案的最值進而比較得出答案．

解答 解：（1）以表中x、y的對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描點，發(fā)現(xiàn)y是x的一次函數(shù)，
設(shè)y=kx+b，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{25k+b=250}\\{40k+b=100}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=500}\end{array}\right.$，
所以y=-10x+500（0＜x≤50）；
（2）w=（x-20）（-10x+500）
=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250．
∵-10＜0，
∴函數(shù)圖象開口向下，w有最大值，
當(dāng)x=35時，w_最大=2250，
故當(dāng)單價為35元時，該文具每天的利潤最大；

（3）A方案利潤高．理由如下：
A方案中：20＜x≤26，
故當(dāng)x=26時，w有最大值，
此時w_A=1440；
B方案中：$\left\{\begin{array}{l}{-10x+500≥50}\\{x-20≥18}\end{array}\right.$，
故x的取值范圍為：38≤x≤45，
∴當(dāng)x=38時，w有最大值，
此時w_B=2160，
∵w_A＜w_B，
∴B方案利潤更高．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=$\frac{2a}$時取得．