Question

5．如圖，直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O與原點重合，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，若點B的坐標(biāo)為（4，6），雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過BC的中點D，與AB交于點E，F(xiàn)為OC邊上一點，把△BCF沿直線BF翻折，使點C落在點C′處（C′在矩形OABC內(nèi)部），且C′E∥BC，則CF的長為$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)B點坐標(biāo)及D為BC中點求出D點坐標(biāo)，將D代入反比例函數(shù)解析式，求出k的值，從而求出E的坐標(biāo)，延長EC′交y軸于G，則EG⊥y軸，設(shè)C′（a，3），則C′G=a，C′E=4-a，在Rt△C′ED中根據(jù)勾股定理求出a的值，設(shè)CF=b，則GF=-b，在Rt△FGC′中由勾股定理求出b的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：∵B（4，6），D為BC中點，
∴D（2，6），
將D（2，6）代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得k=12，解析式為y=$\frac{12}{x}$，
∴E（4，3），
延長EC′交y軸于G，則EG⊥y軸，
設(shè)C′（a，3），
則C′G=a，C′E=4-a，
在Rt△C′EB中，3²+（4-a）²=4²，
解得a₁=4+$\sqrt{7}$＞4，舍去；a₂=4-$\sqrt{7}$．
設(shè)CF=C′F=b，則GF=3-b，
在Rt△FGC′中，（3-b）²+（4-$\sqrt{7}$）²=b²，解得b=$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$，即CF=$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$．
故答案為：$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、翻折變換、勾股定理等知識，綜合性較強，考查全面，值得探究．