Question

小明對(duì)直角三角形很感興趣．△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上任意一點(diǎn)，連接DC，作DE⊥DC，EA⊥AC，DE與AE交于點(diǎn)E．請(qǐng)你跟著他一起解決下列問題：
（1）如圖1，若△ABC是等腰直角三角形，則DE，DC有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明．
（2）如果換一個(gè)直角三角形，如圖2，∠CBA=30°，則DE，DC又有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明．
（3）由（1）、（2）這兩種特殊情況，小明提出問題：如果直角三角形ABC中，BC=mAC，那DE，DC有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由條件可證得△CDF∽△EDG，且相似比為1，所以可得出DC=DE；
（2）由（1）的方法可證得△CDF∽△EDG，且相似比為

3

，所以可得DC=

3

DE；
（3）同（2）的方法可證得△CDF∽△EDG，且相似比為m，所以可得DC=mDE．

解答：解：（1）DE=DC．過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，DF⊥AE于點(diǎn)F，由EA⊥AC，
可知四邊形AGDF為矩形，
所以DG=FA．而DF∥BC，
所以DF=AF，即DG=DF；
又因?yàn)镈E⊥DC，
所以∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，
即∠CDF=∠EDG，
所以△CDF∽△EDG，

DC

DE

=

DF

DG

=1，
即DE=DC；
（2）DC=

3

DE．同理，由∠CDF=∠EDG，可證△CDF∽△EDG，

DC

DE

=

DF

DG

=

DF

FA

=

BC

AC

=

3

，所以DC=

3

DE；
（3）DC=mDE．同理，由∠CDF=∠EDG，可證△CDF∽△EDG，

DC

DE

=

DF

DG

=

DF

FA

=

BC

AC

=m，所以DC=mDE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．