Question

13．如圖，直線l：y=-x+b（b＞0，且b為常數(shù)）與雙曲線c₁：y=$\frac{1}{x}$（x＞0）相交于A、B兩點，與坐標軸交于C、D點，連接OA、OB，過點B、點A分別作x軸、y軸的垂線，交坐標軸于E、F兩點，兩垂線的交點為G，雙曲線c₂：y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過點G，其中點A的坐標為A（x₁，y₁）．則下列結論：
①點B的坐標為B（y₁，x₁）；
②圖中全等的三角形共有3對；
③若AB=$\sqrt{2}$，則OF-AF=1；
④四邊形GAOB的面積為k-1；
⑤若∠AOB=45°，則S_△AOB=1．
其中正確的結論是①③④⑤（只填序號）

Answer 1

分析 先根據(jù)對稱性直接得出①正確，②錯誤，再根據(jù)等腰直角三角形的性質計算得出③正確，利用雙曲線的性質直接求出四邊形GAOB的面積，得出④正確，最后再判斷出△AOF≌△AOH，△BOH≌△BOE即可得出⑤正確．

解答 解：如圖，連接OG，
根據(jù)題意，圖象關于直線y=x成軸對稱，
∵y=-x+b與坐標軸交于C，D，
∴C（0，b），D（b，0），且∠ACO=∠CDO=45°，
由對稱性得，OE=OF，AF=BE，
A（x₁，y₁）．
∴（y₁，x₁）；
所以①正確；
由對稱性得，△COB≌△DOA，△AFC≌△BED，△AFO≌△BEO，△AOC≌△BOD，
所以②錯誤；
當AB=$\sqrt{2}$時，AG=1，
∴OF-AF=FG-AF=AG=1，
所以③正確；
∴S_{四邊形GAOB}=S_{四邊形OEGF}-S_△AFO-S_△BOE=k-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=k-1，
所以④正確；
如圖，連接OG，

∵∠AOB=45°，
∴∠AOF=∠AOH=22.5°，
在△AOF和△AOH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠AOH}\\{∠AFO=∠AHO}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△AOH，
同理：△BOH≌△BOE，
∴S_△AOB=2S_△AOH=1，
所以⑤正確；
故答案為：①③④⑤．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)的性質，全等三角形的性質和判定，反比例函數(shù)中k的幾何意義，反比例函數(shù)圖形上的一點和坐標軸圍成的矩形的面積，本題中對稱性的應用是解本題的關鍵．