Question

13．如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC、BD，且AC=BD．若A到河岸CD的中點的距離為500米．
（1）牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家，試問在何處飲水，所走路程最短？用尺規(guī)作圖在圖中畫出來．
（2）最短路程是多少？

Answer 1

分析 （1）如圖，作點A關于河岸CD的對稱點A′，連接A′B與CD相交于M，則牧童從A處把羊趕到河邊飲水再回家，根據(jù)軸對稱的性質和“兩點之間線段最短”，連接A′B，得到最短距離為A′B，再根據(jù)相似三角形的性質得出CM=DM從而得出在CD的中點處飲水所走路程最短；
（2）根據(jù)A到河岸CD的中點的距離為500米，即可求出A'B的值．

解答 解：（1）作出A的對稱點A′，連接A′B與CD相交于M，則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是A′B的長．

易得△A′CM∽△BDM，
因為AC=BD，所以A′C=BD，則$\frac{A′C}{BD}$=$\frac{CM}{MD}$，
所以CM=DM，M為CD的中點，
所以牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家，在CD的中點處飲水，所走路程最短
（2）因為A到河岸CD的中點的距離為500米，
所以A′到M的距離為500米，
所以A′B=1000米．
故最短距離是1000米．

點評 此題考查了軸對稱的性質和“兩點之間線段最短”，解答時要注意應用相似三角形的性質．