Question

20．通過對蘇科版八（下）教材一道習(xí)題的探索研究，我們知道：一次函數(shù)y=x-1的圖象可以由正比例函數(shù)y=x的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到類似的，函數(shù)y=$\frac{k}{x+2}$（k≠0）的圖象是由反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象向左平移2個(gè)單位長度得到．靈活運(yùn)用這一知識(shí)解決問題．如圖，已知反比例函數(shù) y=$\frac{4}{x}$的圖象C與正比例函數(shù)y=ax（a≠0）的圖象l相交于點(diǎn)A（2，2）和點(diǎn)B．
（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求a的值；
（2）將函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象和直線AB同時(shí)向右平移n（n＞0）個(gè)單位長度，得到的圖象分別記為C′和l′，已知圖象C′經(jīng)過點(diǎn)M（2，4）．
①求n的值；
②分別寫出平移后的兩個(gè)圖象C′和l′對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
③直接寫出不等式$\frac{4}{x-1}$≤ax-1的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax即可求出a=1，根據(jù)反比例函數(shù)和正比例函數(shù)性質(zhì)可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，于是得到B（-2，-2）；
（2）①利用題中方法，可設(shè)C′的解析式為y=$\frac{4}{x-n}$，然后把M（2，4）代入可求出n=1；
②利用題中的幾何變換規(guī)律易得圖象C′和l′對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
③根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律得到函數(shù)y=$\frac{4}{x-1}$與函數(shù)y=x-1的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）、（-1，-2），然后利用函數(shù)圖象可得當(dāng)-1≤x＜1或x≥3時(shí)，$\frac{4}{x-1}$≤ax-1．

解答 解：（1）把A（2，2）代入y=ax得a=1，
∵反比例函數(shù) y=$\frac{4}{x}$的圖象與正比例函數(shù)y=ax（a≠0）的圖象相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴B（-2，-2）；
（2）①根據(jù)題意得C′的解析式為y=$\frac{4}{x-n}$，
把M（2，4）代入得$\frac{4}{2-n}$=4，解得n=1；
②平移后的兩個(gè)圖象C′和l′對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式分別為y=$\frac{4}{x-1}$，y=x-1；
③函數(shù)y=$\frac{4}{x-1}$與函數(shù)y=x-1的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）、（-1，-2），
當(dāng)-1≤x＜1或x≥3時(shí)，$\frac{4}{x-1}$≤ax-1．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)運(yùn)用幾何變換確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．