Question

8．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，把矩形紙片ABCD分別沿著CE，AF折疊，使點B，D分別落在對角線AC上的點B′，D′處．
（1）求證：△ADF≌△CBE；
（2）連接EF，試求EF的長；
（3）M，N分別是線段AB，CD上的兩點，連接MN，MC，若MN∥EF，且△MCN為等腰三角形，求MC²+MN²+CN²的值．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質得出∠DAF=∠CAF=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠BCE=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，B′C=BC，∠CB′E=∠B，由矩形的性質得出∠D=∠B=90°，AB=DC=4，BC=AD=3，AD∥BC，證出∠DAF=∠BCE，由ASA證明△ADF≌△CBE即可；
（2）由勾股定理求出AC，得出AB′=2，設BE=x，則B′E=x，AE=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，設EF交AC于O，則OE=OF，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，求出OB′，由勾股定理求出OE，即可得出EF的長；
（3）分三種情況：①當CM=CN時，設FN=x，則CM=CN=x+$\frac{5}{2}$，BM=x+$\frac{3}{2}$，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程得出PN，不合題意舍去；
②當MC=MN=EF=$\sqrt{10}$時，在Rt△BCM中，由勾股定理求出BM，得出CN=2BM=2，即可得出結果；
③當CN=MN=$\sqrt{10}$時，得出ME=NF=$\sqrt{10}$-$\frac{5}{2}$，求出BM，由勾股定理求出MC²，即可得出結果．

解答 （1）證明：由折疊的性質得：∠DAF=∠CAF=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠BCE=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，B′C=BC，∠CB′E=∠B，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AB=DC=4，BC=AD=3，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B}\\{AD=BC}\\{∠DAF=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBE（ASA）；
（2）解：∵∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴AB′=AC-B′C=AC-BC=5-3=2，
設BE=x，則B′E=x，AE=4-x，
∵∠AB′E=180°-∠CB′E=180°-∠B=180°-90°=90°，
∴AB′²+B′E²=AE²，
即2²+x²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
即BE=$\frac{3}{2}$，
設EF交AC于O，如圖1所示：
則OE=OF，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$，
∴OB′=$\frac{5}{2}$-2=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴EF=2OE=$\sqrt{10}$；
（3）解：分三種情況：①當CM=CN時，如圖2所示：
由（2）得：BE=$\frac{3}{2}$，CF=AE=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
設FN=x，則CM=CN=x+$\frac{5}{2}$，BM=x+$\frac{3}{2}$，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC²+BE²=MC²，
即3²+（x+$\frac{3}{2}$）²=（x+$\frac{5}{2}$）²，
解得：x=$\frac{5}{2}$（不合題意，舍去）；
②當MC=MN=EF=$\sqrt{10}$時，如圖3所示：
在Rt△BCM中，BM=$\sqrt{M{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{10-{3}^{2}}$=1，
∴CN=2BM=2，
∴MC²+MN²+CN²=（$\sqrt{10}$）²+（$\sqrt{10}$）²+2²=24；
③當CN=MN=$\sqrt{10}$時，如圖4所示：
ME=NF=$\sqrt{10}$-$\frac{5}{2}$，
∴BM=$\sqrt{10}$-$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$=$\sqrt{10}$-1，
∴MC²=BC²+BM²=3²+（$\sqrt{10}$-1）²=9+11-2$\sqrt{10}$=20-2$\sqrt{10}$，
∴MC²+MN²+CN=20-2$\sqrt{10}$+10+10=40-2$\sqrt{10}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（3）中，需要進行分類討論才能得出結果．