Question

5．如圖，四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形，如果△ABC的高線AH長8cm，底邊BC長10cm，設(shè)DG=xcm，DE=ycm，
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為何值時，四邊形DEFG的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)DE=y，則MH=y，AM=AH-MH=8-y，因為DG∥BC，可證△ADG∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，建立等式；
（2）設(shè)四邊形DEFG的面積為S，則S=DE×DG=xy=x（8-$\frac{4}{5}$x），運用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題．

解答 解：（1）設(shè)AH與DG交于點M，則AM=AH-MH=8-y，
∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AH}$=$\frac{DG}{BC}$，即$\frac{8-y}{8}=\frac{x}{10}$，
整理，得$y=8-\frac{4}{5}x$；
（2）設(shè)四邊形DEFG的面積為S，則S=DE×DG=xy=x（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}{x}^{2}$+8x，
當(dāng)x=-$\frac{2a}$=5時，S=-$\frac{4}{5}$×25+8×5=20，
所以當(dāng)x=5時，四邊形DEFG面積最大，最大面積是20．

點評 本題考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比用矩形DEFG的寬表示出長是解題的關(guān)鍵．